Logika Matematika - Rangkuman Materi, Tabel Kebenaran & Pola Soal
Salah satu ilmu cabang matematika yang menjadi wajib untuk dipelajari ialah kebijaksanaan matematika. Ilmu ini menggabungkan ilmu kebijaksanaan dan ilmu matematika sebagai kuncinya dan ialah landasan dasar untuk mengambil sebuah kesimpulan. Mempelajari ilmu ini sangat penting alasannya ialah menjadi konsep dasar untuk memilih benar atau salahnya sebuah kesimpulan.
Ada setidaknya 11 macam bahan terkena logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 bahan tersebut ialah pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.
Pada dasarnya, dalam ilmu matematika pernyataan ialah sebuah kalimat yang sanggup ditetapkan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak sanggup ditetapkan keduanya. Sebuah kalimat sanggup ditetapkan sebagai pernyataan jikalau sanggup ditentukan benar atau salahnya. Jika ialah sebuah kalimat relative, maka tidak sanggup ditentukan sebagai pernyataan.
Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya tidak sama dari segi kepastiannya.
1. Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) ialah pernyataan yang belum sanggup dipastikan nilai kebenaran atau salahnya.
2. Pernyataan tertutup(kalimat tertutup) ialah adalah pernyataan yang sudah sanggup dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
misal kebijaksanaan matematika:
Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) dan 200:4 = 60 (salah). Kedua pernyataan tersebut sanggup dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Agar lebih memahaminya, diberikut contohnya,
Pernyataan relatif:
Musik pop ialah musik yang sangat senang (Merupakan pernyataan relatif alasannya ialah tidak tiruana orang menyukai musik pop)
Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, alasannya ialah sebagian orang menyampaikan erat alasannya ialah sanggup ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Negasi dalam bahasa yang lebih sederhana ialah pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata “tidak benar bahwa…” untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Negasi biasanya ditetapkan dengan symbol . Agar lebih memahaminya, diberikut pola untuk kalimat negasi.
misal Negasi:
Pernyataan A:
Semua sungai mengalir ke samudera
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A:
Tidak benar bahwa tiruana sungai mengalir ke samudera.
Dalam kebijaksanaan matematika, aturan konjungsi ialah benar spesialuntuk jikalau kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah jikalau salah satu pernyataan atau keduanya ialah salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan memakai tanda ^ yang berarti “dan”.
Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan klarifikasi dibawah ini.
Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, disjungsi memakai symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi ialah apabila salah satu dari dua pernyataan ialah benar, maka hasilnya ialah benar. Namun jikalau keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.
Berikut penjelasannya.
Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah
Konsep implikasi ialah konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini ialah konsep dari implikasi untuk dipahami.
Untuk p benar dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi spesialuntuk ditetapkan salah jikalau pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.
Biimplikasi ialah pernyataan yang spesialuntuk akan menyatakan benar jikalau kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar jikalau keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.
Dalam kebijaksanaan matematika, untuk menyatakan biimplikasi ialah memakai symbol ⇔ yang mempunyai arti ”p.. jikalau dan spesialuntuk jikalau q..”.
Agar lebih jelas, diberikut pembahasan singkatnya.
Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar
Sesudah mengetahui bahan dasar terkena kebijaksanaan matematika, selanjutnya ialah mempelajari terkena ekuivalensi pernyataan majemuk. Maksudnya ialah dua pernyataan beragam yang tidak sama namun mempunyai nilai yang sama atau ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam kebijaksanaan matematika ialah “≡“.
Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen yaitu:
Ingkaran Konjungsi: (p ˄ q) ≡ p ˅ q
Ingkaran Disjungsi: (p ˅ q) ≡ p ˄ q
Ingkaran Implikasi: (p ⇒ q) ≡ p ^ q
Ingkaran Biimplikasi: (p ⇔ q) ≡ (p ^ q) v (q ^ p)
Ketiga pernyataan konvers, invers dan kontraposisi ialah pernyataan yang spesialuntuk berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi mempunyai ketiga pernyataan tersebut.
Agar lebih praktis dalam pemahamannya, diberikut ringkasannya.
Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya ialah q⇒p
Inversnya ialah p⇒ q
Sedangkan untuk kontraposisinya ialah q⇒ p
Kuantor pernyataan ialah sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum ialah pernyataan yang memakai “untuk setiap” atau “untuk tiruana”. Simbol yang dipakai ialah x.
misal:
Pernyataan “tiruana bunga ialah indah”. Maka notasinya ialah (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus ialah pernyataan yang memakai “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang dipakai ialah Ǝx.
misal:
Pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya ialah (Ǝx),Jx
Sama ibarat pernyataan, kuantor juga mempunyai negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini ialah bahwa negasi dari kuantor universal ialah kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai pola adalah:
p : tiruana bunga ialah indah
p : tiruana bunga tidaklah indah.
Penarikan kesimpulan ialah bahan terakhir dalam kebijaksanaan matematika. Kesimpulan sanggup ditarik dari premis atau pernyataan yang sudah ada. Ada tiga metode untuk melaksanakan penarikan kesimpulan.
Modus ponens mempunyai rumus: premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya jikalau diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya ialah q.
misal:
Premis 1: Jika isu terkini semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q
Kesimpulan: p
misal:
Premis 1: Jika isu terkini cuek tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang isu terkini dingin.
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r
misal:
Premis 1: Jika isu terkini gerah tiba, hutan akan kekeenteng.
Premis 2: Jika hutan kekeenteng maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: Jika isu terkini gerah tiba, maka pepohonan akan mati.
Pembahasan sederhana diatas diperlukan sanggup memmenolong dalam memahami Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu kebijaksanaan matematika sering dipakai dalam metode penelitian dan aktivitas akademik lainnya.
Ada setidaknya 11 macam bahan terkena logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 bahan tersebut ialah pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.
Pernyataan
Pada dasarnya, dalam ilmu matematika pernyataan ialah sebuah kalimat yang sanggup ditetapkan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak sanggup ditetapkan keduanya. Sebuah kalimat sanggup ditetapkan sebagai pernyataan jikalau sanggup ditentukan benar atau salahnya. Jika ialah sebuah kalimat relative, maka tidak sanggup ditentukan sebagai pernyataan.
Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya tidak sama dari segi kepastiannya.
1. Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) ialah pernyataan yang belum sanggup dipastikan nilai kebenaran atau salahnya.
misal kebijaksanaan matematika:
Penyataan terbuka: Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih lampau).
2. Pernyataan tertutup(kalimat tertutup) ialah adalah pernyataan yang sudah sanggup dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
misal kebijaksanaan matematika:
Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) dan 200:4 = 60 (salah). Kedua pernyataan tersebut sanggup dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Ada satu pernyataan lagi yang disebut dengan pernyataan relatif, Pernyataan ini ialah pernyataan yang sanggup benar namun juga salah.
Agar lebih memahaminya, diberikut contohnya,
Pernyataan relatif:
Musik pop ialah musik yang sangat senang (Merupakan pernyataan relatif alasannya ialah tidak tiruana orang menyukai musik pop)
Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, alasannya ialah sebagian orang menyampaikan erat alasannya ialah sanggup ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Negasi atau ingkaran
Negasi dalam bahasa yang lebih sederhana ialah pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata “tidak benar bahwa…” untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Negasi biasanya ditetapkan dengan symbol . Agar lebih memahaminya, diberikut pola untuk kalimat negasi.
misal Negasi:
Pernyataan A:
Semua sungai mengalir ke samudera
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A:
Tidak benar bahwa tiruana sungai mengalir ke samudera.
Pernyataan Majemuk
Pernyataan beragam dalam kebijaksanaan matematika terdiri atas konjungsi , disjungsi , implikasi , dan biimplikasi dibawah ini kami diberi penjelasannya masing-masing:Konjungsi
Dalam kebijaksanaan matematika, aturan konjungsi ialah benar spesialuntuk jikalau kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah jikalau salah satu pernyataan atau keduanya ialah salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan memakai tanda ^ yang berarti “dan”.
Tabel Kebenaran Konjungsi
p | q | P ^ q | Logika matematika |
B | B | B | Jika p benar dan q benar maka p dan q ialah benar |
B | S | S | Jika p benar dan q salah maka p dan q ialah salah |
S | B | S | Jika p salah dan q benar maka p dan q ialah salah |
S | S | S | Jika p salah dan q salah maka p dan q ialah salah |
Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Disjungsi
Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, disjungsi memakai symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi ialah apabila salah satu dari dua pernyataan ialah benar, maka hasilnya ialah benar. Namun jikalau keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.
Tabel Kebenaran Disjungsi
p | q | P v q | Logika matematika |
B | B | B | Jika p benar dan q benar maka p atau q ialah benar |
B | S | B | Jika p benar dan q salah maka p atau q ialah benar |
S | B | B | Jika p salah dan q benar maka p atau q ialah benar |
S | S | S | Jika p salah dan q salah maka p atau q ialah salah |
Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah
Implikasi
Konsep implikasi ialah konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini ialah konsep dari implikasi untuk dipahami.
Tabel Kebenaran Implikasi
p | q | p => q | Logika matematika |
B | B | B | Jika pertamanya BENAR kemudian jadinya BENAR maka dianggap BENAR |
B | S | S | Jika pertamanya BENAR kemudian jadinya SALAH maka dianggap SALAH |
S | B | B | Jika pertamanya SALAH kemudian jadinya BENAR maka dianggap BENAR |
S | S | B | Jika pertamanya SALAH kemudian jadinya SALAH maka dianggap BENAR |
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi spesialuntuk ditetapkan salah jikalau pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.
Biimplikasi
Biimplikasi ialah pernyataan yang spesialuntuk akan menyatakan benar jikalau kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar jikalau keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.
Dalam kebijaksanaan matematika, untuk menyatakan biimplikasi ialah memakai symbol ⇔ yang mempunyai arti ”p.. jikalau dan spesialuntuk jikalau q..”.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p | q | p ó q | Logika matematika |
B | B | B | P ialah BENAR jikalau dan spesialuntuk jikalau q ialah BENAR (dianggap benar) |
B | S | S | P ialah BENAR jikalau dan spesialuntuk jikalau q ialah SALAH (dianggap salah) |
S | B | S | P ialah SALAH jikalau dan spesialuntuk jikalau q ialah BENAR (dianggap salah) |
S | S | B | P ialah SALAH jikalau dan spesialuntuk jikalau q ialah SALAH (dianggap benar) |
Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar
Ekuivalensi pernyataan majemuk
Sesudah mengetahui bahan dasar terkena kebijaksanaan matematika, selanjutnya ialah mempelajari terkena ekuivalensi pernyataan majemuk. Maksudnya ialah dua pernyataan beragam yang tidak sama namun mempunyai nilai yang sama atau ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam kebijaksanaan matematika ialah “≡“.
Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen yaitu:
Ingkaran Pernyataan Majemuk
Ingkaran Konjungsi: (p ˄ q) ≡ p ˅ q
Ingkaran Disjungsi: (p ˅ q) ≡ p ˄ q
Ingkaran Implikasi: (p ⇒ q) ≡ p ^ q
Ingkaran Biimplikasi: (p ⇔ q) ≡ (p ^ q) v (q ^ p)
Konvers, invers, dan kontraposisi
Ketiga pernyataan konvers, invers dan kontraposisi ialah pernyataan yang spesialuntuk berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi mempunyai ketiga pernyataan tersebut.
Agar lebih praktis dalam pemahamannya, diberikut ringkasannya.
Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya ialah q⇒p
Inversnya ialah p⇒ q
Sedangkan untuk kontraposisinya ialah q⇒ p
Kuantor pernyataan
Kuantor pernyataan ialah sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum ialah pernyataan yang memakai “untuk setiap” atau “untuk tiruana”. Simbol yang dipakai ialah x.
misal:
Pernyataan “tiruana bunga ialah indah”. Maka notasinya ialah (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus ialah pernyataan yang memakai “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang dipakai ialah Ǝx.
misal:
Pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya ialah (Ǝx),Jx
Ingkaran dari pernyataan kuantor
Sama ibarat pernyataan, kuantor juga mempunyai negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini ialah bahwa negasi dari kuantor universal ialah kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai pola adalah:
p : tiruana bunga ialah indah
p : tiruana bunga tidaklah indah.
Penarikan kesimpulan
Penarikan kesimpulan ialah bahan terakhir dalam kebijaksanaan matematika. Kesimpulan sanggup ditarik dari premis atau pernyataan yang sudah ada. Ada tiga metode untuk melaksanakan penarikan kesimpulan.
Modus ponens
Modus ponens mempunyai rumus: premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya jikalau diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya ialah q.
misal:
Premis 1: Jika isu terkini semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Modus Tollens
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q
Kesimpulan: p
misal:
Premis 1: Jika isu terkini cuek tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang isu terkini dingin.
Silogisme
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r
misal:
Premis 1: Jika isu terkini gerah tiba, hutan akan kekeenteng.
Premis 2: Jika hutan kekeenteng maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: Jika isu terkini gerah tiba, maka pepohonan akan mati.
Pembahasan sederhana diatas diperlukan sanggup memmenolong dalam memahami Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu kebijaksanaan matematika sering dipakai dalam metode penelitian dan aktivitas akademik lainnya.
Komentar
Posting Komentar